Blog de Ana PardoLa vida en númer0s: mayo 2016

lunes, 30 de mayo de 2016

Aplicaciones de las derivadas al estudio completo de una función

Antes de nada, ¿qué hay que estudiar cuando me piden el estudio completo de una función?

Dominio. Dom f
Cortes con los ejes
Continuidad y asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas)
Monotonía y extremos relativos de f mediante los signos y ceros de f´
Convexidad y puntos de inflexión de f mediante signos y ceros de f´´
La gráfica
Otras... (recorrido, inyectividad, periodicidad...)

Aquí os traigo un par de ejemplos de como hallar la gráfica de cualquier función a partir de su ecuación. (iremos resolviendo de funciones sencillas a más complejas)
Ejemplo 1:
Estudio completo de la función definida por:

1- DOMINIO: Dom f = ℝ (por ser polinómica)
2- CORTES CON LOS EJES:
f(0) = 1 P(0,1)
f(x) = 0 resolvemos la ecuación a través del método de bisección.
P (-1,87 , 0)

3- CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS
Es continua por ser polinómica.
No hay asíntotas

4- MONOTONÍA Y EXTREMOS RELATIVOS
Estudiando los signos y ceros de la derivada.

5- CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
Estudiando los signos y ceros de la derivada segunda.

6- LA GRÁFICA
Mientras hemos estudiado las características está bien ir haciendo una tabla de valores de los puntos que obtenemos para después dibujar la gráfica.

Ejemplo 2:
Estudio completo de la función definida por:

1- DOMINIO. Dom f = ℝ - (3/2)
2- CORTES CON LOS EJES.
f(0) = -1/3 P(0, -1/3)
f(x) = 0 x= -1 P(-1, 0)

3- CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS
Es continua en todo su dominio por ser racional, cociente de polinómicas.
Asíntota vertical en x = 3/2

Asíntota horizontal en y= 1/2

NO hay asíntotas oblicuas

4- MONOTONÍA Y EXTREMOS RELATIVOS
Estudiando los signos y ceros de la derivada.

5- CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
Estudiamos la segunda derivada

6- LA GRÁFICA
Primero tabla de valores con los datos conocidos

sábado, 28 de mayo de 2016

Entrevista a Luis María Abia Llera

Hace bastante tiempo compartí con vosotros una posible entrevista para realizar al matemático Luis Abia (si quieres recordar dicha entrevista Pinche aquí)

Pues bien por fin mis compañeros y yo hemos recibido sus respuestas y me gustaría comentar con vosotros aquellos aspectos de la entrevista que más me han gustado.

Antes de nada agradezco a Luis su tiempo y empeño en responder a las preguntas.

Lo primero que me ha llamado la atención es la cercanía y sinceridad con la que ha respondido y nos ha ayudado a conocerle un poquito más:

Se decantó por las matemáticas porque se le daban bastante bien y porque ganó una beca al quedar tercero en una Olimpiada matemática y eso le impulsó finalmente a estudiar esta disciplina. Su motivación diaria son sus alumnos, la enseñanza y su mayor satisfacción resolver un problema al que ha dedicado días y días.Afirma que las matemáticas están presentes en nuestro día a día y que es impensable un mundo sin ellas, de hecho el futuro estará marcado por las nuevas tecnologías, por la informática, ciencia que va de la mano con su querida disciplina. Aunque él reivindica que se aprende trabajando con lapiz, papel y resolviendo problemas y problemas.Nos aconseja que lo más importante a la hora de empezar una carrera es la actitud.Las matemáticas es una de las asignaturas más odiadas por los estudiantes, nuestro entrevistado nos explica que la causa de este fracaso es que estamos ante una asignatura acumulativa (que no te puedes preparar el día antes del examen), una asignatura que hay que trabajar día a día y ser constante con dicha práctica. Por último respondió a la pregunta que yo le plantee sobre la eliminación de la filosofía como asignatura obligatoria y me gusta que por mucho matemático que sea sepa admitir la importancia de dicha asignatura, y sorprendiéndome Luis Abia se decanta por la filosofía.

En conclusión, puede que lleve muchos años dedicados a las matemáticas pero aún sigue teniendo la curiosidad del primer día, aún se sorprende con lo amplia y maravillosa que es esta ciencia infinita.

Tras su entrevista podría definir las cualidades de un gran matemático: motivación, curiosidad y perseverancia.

El mundo necesita más gente que ame lo que hace y Luis María Abia Llera ama las matemáticas.

domingo, 15 de mayo de 2016

Examen derivabilidad. (Ejercicios del 7 al 9)

En los ejercicios 6 y 10 me han surgido unas pequeñas dudas que espero resolver mañana en clase, y poder ya compartir el examen al completo.

Examen derivabilidad (Ejercicios del 1 al 5)

Ninguna de estas 5 es continua.

Transmisión del conocimiento: Difusión científica

Índice

1. Introducción
2. Resumen y palabras clave
3. Importancia de la difusión científica.

Sociedades científicas

4. Evolución de esta transmisión. La información a través del tiempo.
- Prehistoria:

Símbolos.
Sonidos. Palabras. Lenguaje.

- Historia:

LA ESCRITURA (libros, manuscritos)
La música
Culturas clásicas (Grecia y Roma)
Monasterios
Imprenta
Universidades
Las TIC

5. Conclusión.

6. Bibliografía

martes, 10 de mayo de 2016

LA DERIVADA

Antes de empezar a hablar mil cosas sobre las derivadas dejemos claro ¿Qué es una derivada?
De una manera brusca y para que nos entendamos la derivada es la pendiente de la recta tangente (en un punto determinado).
Si nos referimos a funciones, una función es derivable cuando es derivable en todos los puntos de su dominio.

En la imagen se muestra que la derivada de la función en el punto marcado es equivalente a la pendiente de la recta tangente.

Derivada de una función en un punto.

Ejemplo:

Función derivada de las funciones elementales.
Función constante:

$f(x) = a$ $f'(x) = 0$

Función identidad:

$f(x) = x$ $f'(x) = 1$

Función lineal:

$f(x) = ax$

$f'(x) = a$

Función afín:

$f(x) = ax + b$ $f'(x) = a$

Función potencial:

$f(x) = x^n$ $f'(x) = nx^{n-1}$

Ejemplos:

Función polinómica:
Para resolverlas podemos entenderlas como suma de funciones más sencillas.

Ejemplo:

Función exponencial:

$f(x) = a^x \;\;(a >0)$ $f'(x) = a^x \ln(a)$
Caso especial:
$f(x) = e^x$ $f'(x) = e^x$

Función logarítmica:

$f(x) = \ln(x)$ $f'(x) = \frac{1}{x}$

$f(x) = \log_{b}(x)$ $f'(x) = \frac{1}{x\ln(b)}$

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
1- Funciones trigonométricas:

$f(x) = \operatorname{sen}(x)$	$f'(x) = \cos(x)$
$f(x) = \cos(x)$	$f'(x) = -\operatorname{sen}(x)$
$f(x) = \tan(x)$	$f'(x)=\sec^2(x)=\frac{1}{cos^2(x)}=1+\tan^2(x)$

2- Funciones inversas de las trigonométricas:

$f(x) = \csc(x)$	$f'(x) = -\csc(x)\cot(x)$
$f(x) = \sec(x)$	$f'(x) = \sec(x)\tan(x)$
$f\left(x\right) = \cot(x)$	$f'\left(x\right) = -\csc^2(x)$

3- Funciones recíprocas de las trigonométricas:

$f\left(x\right) = \operatorname{arcsen}(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f\left(x\right) = \arccos(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f\left(x\right) = \arctan(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{1+x^2}$

Operaciones con derivadas

SUMA Y RESTA

$f\left(x\right) = g(x) \pm h(x)$ $f'\left(x\right) = g'(x) \pm h'(x)$

PRODUCTO

$f\left(x\right) = g(x) \cdot h(x)$ $f'\left(x\right) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$

$f\left(x\right) = k \cdot g(x)$ $f'\left(x\right) = k \cdot g'(x)$

COCIENTE

$f\left(x\right) = \frac{g(x)}{h(x)}$ $f'\left(x\right) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{h^2(x)}$

COMPOSICIÓN

$f\left(x\right) = g \circ h = g(h(x))$ $f'\left(x\right) = (g'\circ h) \cdot h' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$

POTENCIACIÓN

$f\left(x\right) = g\left(x\right)^{h\left(x\right)} \;\;(g(x)>0)\;\;$

$f'\left(x\right) = h\left(x\right) \cdot g'\left(x\right) \cdot g\left(x\right)^{\left(h\left(x\right)-1\right)} + g\left(x\right)^{h\left(x\right)} \cdot h'\left(x\right) \cdot ln\left(g\left(x\right)\right)$