X

La famosa X que todos ponemos a nuestros ejercicios dependiendo de ¿DÓNDE? se encuentre se denomina de diferentes maneras:

• En los polinomios, INDETERMINADA.
• En las ecuaciones polinómicas, INCÓGNITA.
• En las funciones polinómicas, VARIABLE.

Polinomios II

Después del ejercicio para reconocer los polinomios vamos a repasar conceptos básicos, antes de nada ¿Qué es un polinomio? los polinomios son expresiones algebraicas formadas por números, operaciones y letras (que representan números desconocidos) , cuya formula general sería;

En otras palabras se podría decir que un polinomio es una sucesión de operaciones de monomios, reducidos de forma decreciente.A cada uno de estos monomios le vamos a denominar término.

• El exponente será el grado de cada termino, y en el caso de un polinomio el exponente mayor dará lugar al grado del polinomio.
• La parte literal la llamaremos indeterminada.

Dentro de todos los términos que puede tener un polinomio destacan 2:

1. El término independiente, que es aquel de grado cero.
2. Termino principal (coeficiente principal) aquel que su coeficiente no es 0 y posee el mayor grado de todos los términos. (marca el grado del polinomio)

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

Es el resultado que se obtiene al sustituir la indeterminada por un número cualquiera y realizar la oportunas operaciones.

RAÍZ DE UN POLINOMIO P(x)
Son los números que al sustituirlos por la indeterminada su resultado sea igual que 0.

En la práctica son utilizados en las ecuaciones polinómicas y en las funciones polinómicas, ambas sirven para la resolución de una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química, economía... pero esto ya es otro tema del que os hablaré más adelante.

Beyond the Classroom

Hace unos días nuestro profesor nos envió un texto que nos podría interesar (si quieres leer el texto pincha sobre el siguiente enlace):

http://www.jstor.org/stable/10.4169/mathhorizons.23.1.26?seq=1#page_scan_tab_contents

En este texto se plantea como a un grupo de estudiantes les aburrían las matemáticas hasta que empezaron a trabajarlas en equipo, descubriendo que podían ser más fáciles y divertidas de lo que se pensaban, y que trabajando en equipo todo es mucho más fácil.
Ahora entiendo que mi profesor nos mandara este texto, ya que él es un gran partidario del trabajo grupal.

Polinomios

Comenzamos con el tema 2, dejamos los radicales y empezamos con los polinomios.

¿Cuanto sabes de polinomios? Reconoce estos polinomios:

1- No es un polinomio, es una suma de dos polinomios.

2- Polinomio

3- Polinomio

4- No es un polinomio, es una operación, primero una división y luego una suma de polinomios.

5- No es un polinomio.

6- No es un polinomio, es un radical.

7- No es un polinomio, es una división de polinomios.

8- No es un polinomio.

9- Polinomio.

10- Polinomio.

11- Polinomio (de grado 0)

12- No es un polinomio, es una operación de polinomios (resta y suma) cuyo resultado sí es un polinomio.

DISPUTAS MATEMÁTICAS EN EL SIGLO XVI TARTAGLIA, CARDANO, DEL FERRO

Esta semana nuestro profesor nos ha propuesto un texto para comentarlo, antes de comenzar aquí os dejo el texto que habla sobre la vida de tres importantes matemáticos:

http://historiaybiografias.com/disputas_matematicas/

Todas las disputas entre estos matemáticos surgen a partir de la búsqueda de la solución de la ecuación de tercer grado,   (en notación moderna) cuya solución finalmente publicó Cardano que le fue comunicada a través de Tartaglia a quien Cardano había jurado no desvelar el secreto de la solución, pero para Cardano este juramiento no tuvo validez cuando descubrió que el hallazgo de esta solución no se debía a Tartaglia sino a Del Ferro el cual halló una primera fórmula que nunca llego a publicar y guardó en secreto, por lo que se cree que Tartaglia utilizó estos conocimientos para resolver dicho enigma.
Podemos observar como tres grandes matemáticos se aprovechan del trabajo ajeno para su propio beneficio, cuando ellos lo único que querían era resolver un mismo problema. No importan ni las amistades ni su propia humildad, pueden que fueran muy buenos matemáticos pero como personas dejan mucho que desear. Quizás si todos hubieran trabajado en equipo o hubieran aceptado el trabajo de los demás todo hubiera sido mucho más fácil.
Finalmente esta solución se publicó en un libro de aritmética de Cardano y actualmente se conocen como las fórmulas de Cardano (aunque hoy habrás descubierto que eso no es del todo verdad).
Aquí os dejo un vídeo que os resumirá toda esta historia.

¿Qué es un número algebraico?

Cualquier número real que es solución de un polinomio no nulo (polinomio cuyos coeficientes son 0) con coeficientes racionales.

Entonces, ¿todos los números son algebraicos? NO
Los números que no son algebraicos se llaman números transcendentes y por ejemplo son:

• El número pi

• El número e

Generalización

La generalización es un proceso mediante el cual se establece una conclusión de carácter universal gracias a una primera observación.

Generalización famosa

 Teorema de Fermat Si n es un número entero mayor que dos entonces no existen números naturales a,b y c tales que se cumpla la igualdad. (es una ecuación diofántica, es decir, ecuaciones exclusivamente con números enteros)

Ternas Pitagóricas Tres números naturales que cumplen el teorema de Pitágoras 

Ejemplos de ternas pitagóricas

Los números radicales

¿Conoces realmente el concepto de número radical?
Para descubrirlo nuestro profesor nos planteó un ejercicio en el que teníamos que distinguir entre varios números cuales eras números radicales.

1. Es radical

2. No es radical, es una operación  (división )

3. Es radical

4. Es radical

5. No es radical porque no existe ya que la fracción es negativa y el índice es par

6. No es radical porque la raíz de 3 no es un número racional (aunque lo acabará siendo al resolverlo)

7. No es radical porque es una operación (multiplicación)

8. No es radical porque es una operación (aunque su resultado será un radical)

9. Es radical

10. No existe (no existe la raíz cuadrada de ningún número negativo)

El carcelero loco

Nuestro primer problema exige un poco de imaginación, hace falta leer el enunciado varias veces y pensar la solución. En definitiva, no es un problema que a uno le tenga que salir de inmediato.
En una cárcel hay 100 celdas numeradas del 1 al 100. El carcelero primero recorre todas las celdas y las va abriendo una por una, de la 1 a la 100. Una vez hecho esto empieza de nuevo y cierra todas las pares. Luego vuelve hasta la celda 3 y sigue saltando de 3 en 3 y las que encuentra abiertas las cierra,  y las que encuentra cerradas las abre. En definitiva, cambia el estado de cada celda.
Una nueva vuelta empezando ahora por la celda número 4 y va saltando de 4 en 4 cambiando de estado las celdas. En la siguiente vuelta empieza en la 5, saltando de 5 en 5, cambiando el estado de las celdas. El carcelero continua con este proceso hasta llegar a la número 100, cuando debería empezar a dar saltos de 100 en 100.

¿Qué puertas quedarán abiertas cuando finalice el proceso? 

 Para resolver este problema tienes dos opciones: puedes volverte tan loco como el carcelero e intentar hacerlo mediante el famoso método de "la cuenta la vieja" o puedes aplicar tus conceptos matemáticos y ahorrarte bastante tiempo. Todas las puertas empiezan abiertas así que cuando pasas una vez por una puerta la cierras, dos veces la abres, tres la cierras de nuevo...  Es decir si pasas un número impar de veces la puerta quedará abierta así que la nueva pregunta que se nos plantea es:

¿Qué números tienen un número impar de divisores?

Los únicos números que tienen un número impar de divisores son los cuadrados por lo que los números que son cuadrados entre 1 y 100 son:

1,4,9,16,25,36,49,64,81 y 100