¿Se puede computar todo?

Hoy vamos a hacer algo diferente, imagina que eres periodista y tienes que realizar una entrevista.
Pues bien, nuestro entrevistado es Luis María Abia Llera, Catedrático del Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad de Valladolid, el cual el día 1 de febrero nos dará la conferencia "¿Se puede computar todo?". Ante esta conferencia voy a preparar algunas preguntas.

1. Comencemos por sus inicios, ¿Por qué las matemáticas?, ¿Cuando decidió que esa era su vocación?.
2. ¿Qué salidas tienen las matemáticas?
3. Alan Turing, el padre de la computación, siempre creyó que la informática evolucionaría hasta tal punto que las máquinas podrían lograr una inteligencia artificial. “Si una máquina se comporta en todos los aspectos como inteligente, entonces debe ser inteligente”- decía Turing. ¿Qué opina? ¿Piensa que las máquinas llegarán a ser inteligentes, a comportarse como humanos? ¿Se puede computar el cerebro humano?
4. Está claro que las matemáticas y la informática van de la mano, ¿existen límites en estas ciencias o siempre habrá algo más?
5. ¿Con las matemáticas podemos demostrar cualquier cosa?
6. A lo largo de la historia muchos grandes filósofos se han interesado por las matemáticas (y viceversa) ¿Cuáles pueden ser las razones que expliquen este acercamiento?
7. La filosofía de las Matemáticas son un tema desconocido para muchos de nosotros. ¿Se debería dar a este tema más importancia en la educación actual?
8. ¿Realmente hay matemáticas en las cosas o solo están en la mente humana?
9. ¿Qué diría a alguien que está interesado en estudiar la carrera de matemáticas, que consejos le daría?
10. Por último, como sabrá la LOMCE ha decidido poner como asignatura obligatoria a los alumnos de segundo de bachillerato matemáticas quitando como obligatoria filosofía. ¿Qué opina? 

Los números complejos II

Seguimos con los números complejos!!

Representación gráfica de un número complejo: 

Se representan en unos ejes cartesianos.

- En el eje de abscisas (eje x), se llama eje real, y se representa la componente real. (Rez)

- En el eje de ordenadas (eje y), se llama eje imaginario, y se representa la componente imaginaria. (Imz)

Operaciones con números complejos en forma binómica:

SUMA Y RESTA

Se realiza sumando o restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí.

(a + bi) +/- (c + di) = (a +/- b) + (b +/- d)i 

(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

MULTIPLICACIÓN 

Se realiza como si fueran números reales (aplicando la propiedad distributiva) y teniendo en cuenta que:  i² = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)

 (5 + 2 i) · (2 − 3 i) = 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i 

DIVISIÓN 

Se realiza multiplicando numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador.

Forma polar y trigonométrica de un número complejo:

Antes dejemos claros dos conceptos claves en los números complejos, el módulo y el argumento.

Módulo: es la longitud del vector determinado por el origen de coordenadas y el punto que representa el número complejo. Se representa por m = |z|

Argumento: es el ángulo que forma el vector con el eje real.Se representa por α=arg(z) y se calcula:

FORMA POLAR

El complejo z = a + bi tiene un módulo m y un argumento α. Por lo que:

FORMA TRIGONOMÉTRICA:

Si nos fijamos en la representación gráfica del número complejo z = a + bi, obtenemos:

Llamamos forma trigonométrica de un número complejo z a:

z = m ( cos α + i sen α)

Llevemos toda esta teoría a la práctica: 

- Paso de forma binómica a polar o trigonométrica.

Calculamos el módulo y el argumento del número complejo.

- Paso de forma polar o trigonométrica a binómica.

Calculamos los componentes real e imaginario.

Producto y cociente en forma polar:
**La suma y diferencia de números complejos no es conveniente realizarla estando expresados en forma polar, por lo que estas operaciones las haremos en forma binómica.
PRODUCTO

No es más que otro número complejo que tiene por módulo el producto de los módulos, y por argumento la suma de los argumentos.

COCIENTE
Es otro complejo que tiene por módulo el cociente de los módulos y por argumento la diferencia de los argumentos.



Potenciación de complejos en forma polar
Es otro número complejo que tiene por módulo la potencia n-ésima del módulo, y por argumento n veces el argumento del complejo dado.



Fórmula de Moivre

Radicación de complejos en forma polar:
- Su módulo es la n raíz enésima del módulo.
- Su argumento es:

K = 0, 1, 2, ..., n - 1 Las raíces n-ésimas de un número complejo (en forma polar) son:

Ecuaciones con números complejos:
Toda ecuación algebraica de grado n, con coeficientes reales o complejos tiene n raíces o soluciones en el conjunto de los números complejos. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
El primero en demostrarlo fue Gauss.

Los números complejos

Año nuevo, tema nuevo! 
Tras el paréntesis de las funciones volvemos con el temario, dejamos de lado la trigonometría y empezamos con los números complejos.
El conjunto de todos los número complejos se designa por . 

Son parejas de números reales, a + bi (forma binómica) a + bi = z

• El número a es la parte real del número complejo. = Rez
• El número b es la parte imaginaria del número complejo. = Imz

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real. a + 0i = a

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y lo llamamos número imaginario puro. 

Conjugado del complejo

 z = a − bi 

Concepto de función

Después de un pequeño parón volvemos a las andadas!!
Para comprender bien el concepto tenemos que recurrir a la teoría de conjuntos con un diagrama de Venn.

Cada flecha representa una pareja de un elemento de A con uno de B ---> Producto cartesiano.
Parejas ordenadas de A y B, AxB: este conjunto tiene 12 elementos ( 3 elementos de A x 4 elementos de B).

Pero realmente no vemos todo el conjunto AxB únicamente vemos 4 parejas (recordad que cada flecha es una pareja), vemos una parte del conjunto AxB, un subconjunto del producto cartesiano de A y B que se llama correspondencia de A y B.
Al conjunto A lo llamaremos conjunto inicial y al conjunto B conjunto final dentro de los cuales encontramos los subconjuntos original e imagen respectivamente.

Aparte del diagrama de Venn tenemos otras dos formas de representar una correspondencia:
Definición por extensión: 
Describirla a través de todos sus elementos. (en forma de conjunto)
C= la correspondencia

Diagrama lineal:
Un conjunto (en este caso A) sobre una recta horizontal y el otro (B) en una recta vertical.
Cada intersección de ambos conjuntos (cada punto) sería una posible pareja y los puntos más marcados sería los de la correspondencia que nos interesa.

Aplicación
Una aplicación es un tipo de correspondencia en la que todos los elementos del conjunto inicial están emparejados una o ninguna vez con algún elemento del conjunto final. (la anterior correspondencia AxB no sería una aplicación.)

• Aplicación inyectiva: es una aplicación en la que todos los elementos del conjunto final están emparejados 1 o ninguna vez.
• Sucesión: aplicación ℕ--> ℝ.
• Función: aplicación ℝ --> ℝ.

        

     FUNCIÓN INYECTIVA: 

    Ejemplo:

Función seno: y= f(x)= sen (x) 

Esta función NO es inyectiva, ya que varios elementos del conjunto final (eje y) estan emparejados más de 1 vez.

Función arcoseno ("dar la vuelta al seno"): no sería aplicación porque la función seno no es inyectiva así que para que sea una aplicación debemos restringir esta función a un intervalo (Función restringida). Por ejemplo el intervalo: