Blog de Ana PardoLa vida en númer0s: abril 2016

Indeterminaciones

Cuando trabajamos con límites nos pueden aparecer indeterminaciones, aquí os las planteo y os doy unas pequeñas reglas para resolverlas.

Infinito partido por infinito: dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor exponente.

Infinito menos infinito: distintos casos:

Con funciones irracionales multiplicamos y dividimos por el conjugado.

Si es una diferencia de funciones racionales hacemos la operación:

Cero partido cero: se nos puede dar por dos casos:

Función racional que resolvemos factorizando y simplificando.

Funciones con raíces cuadradas en el den. y num. que resolvemos multiplicando num. y den. por el conjugado.

Cero por infinito: se transforma en otras indeterminaciones como ∞/∞ o 0/0 que ya sabemos como resolver.

Cero elevado a cero

Infinito elevado a cero

Uno elevado a infinito

(existen otras formas de resolver estas indeterminaciones aquí os cuento aquellas que yo utilizo y que me parecen más sencillas)

Cálculo de límites

Partimos de las funciones básicas en las que se suele cumplir:

Para calcular el límite se sustituye en la función el valor al tienden las x.
Ejemplo:

Obviamente no vamos a calcular un límite cuyos valores no pertenezcan al dominio, por ejemplo:
límite

(El dominio está en el intervalo [0, ∞) )
(No podemos tomar valores que se acerquen a -2)
Sin embargo si podemos calcular:

Porque aunque 3 no pertenezca al dominio, si podemos acercarnos todo lo que queramos a este valor.

Cálculo de límites en una función definida a trozos:
Estudiamos los límites (laterales) en los puntos de unión de los diferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite.
Si no coinciden no hay límite.

Ejemplo:

En x=-1 :

Como coinciden el límite existe y es igual a 1, en otras palabras en x=-1 la función es constante.

En x=1 :

Como NO coinciden los límites laterales no tiene límite, es decir es discontinua en x=1.

Cálculo de límites cuando x tiende a ∞.
Se sustituyen las x por ∞.
Y recuerda tener en cuenta las operaciones con infinito de la anterior entrada.
Ejemplos:

límite

Límites funcionales

Después de varios días atendiendo a las clases referidas a este tema e intentando asimilar este concepto creo que ha llegado el momento de compartirlo con vosotros.

LÍMITE EN UN PUNTO
El límite de la función f(x) en el punto es el valor x₀, al que se acercan las imágenes (las y) cuando los valores de la variable independiente (las x) se acercan al valor x₀. Es decir, el valor al que tienden las imágenes cuando nos acercamos a x₀.

LÍMITES LATERALES
Para que exista el límite de una función (global) deben existir los límites laterales y coincidir.
Consiste en acercarse a un número (a) tanto por la izquierda (x ® a^-) como por la derecha (x ® a⁺)
Una función tiene límite si los límites laterales son iguales.
Ejemplos:

Función a trozos

En este caso vemos que ambos límites cuando x tiende a 2 (ya sea por la derecha o por la izq) es 4, aunque la función en x=2 no tenga imagen.
PARA CALCULAR EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO, NO NOS INTERESA LO QUE SUCEDE EN DICHO PUNTO SINO A SU ALREDEDOR.

Como los límites laterales no coinciden, la función no tiene límite en x=0 (en otras palabras, es discontinua en x=0... pero esto es otro asunto)

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Si los límites laterales de una función en un punto no coinciden, es discontinua. No tiene límite.
El límite en cada punto es único.
Si lim f(x) = L (x ®x₀ ) en un entorno de x₀la función tiene el signo de L.
Las operaciones con límites funcionan igual que las operaciones con número reales.

LÍMITES EN EL INFINITO
¿Qué pasa cuando la x tiende a +/- infinito?
Para saber calcular estos límites demos un repaso a las operaciones con infinito (aunque no son operaciones propiamente dichas ya que infinito NO es un número)

SUMAS