Los números complejos II

Seguimos con los números complejos!!

Representación gráfica de un número complejo: 

Se representan en unos ejes cartesianos.

- En el eje de abscisas (eje x), se llama eje real, y se representa la componente real. (Rez)

- En el eje de ordenadas (eje y), se llama eje imaginario, y se representa la componente imaginaria. (Imz)

Operaciones con números complejos en forma binómica:

SUMA Y RESTA

Se realiza sumando o restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí.

(a + bi) +/- (c + di) = (a +/- b) + (b +/- d)i 

(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

MULTIPLICACIÓN 

Se realiza como si fueran números reales (aplicando la propiedad distributiva) y teniendo en cuenta que:  i² = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)

 (5 + 2 i) · (2 − 3 i) = 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i 

DIVISIÓN 

Se realiza multiplicando numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador.

Forma polar y trigonométrica de un número complejo:

Antes dejemos claros dos conceptos claves en los números complejos, el módulo y el argumento.

Módulo: es la longitud del vector determinado por el origen de coordenadas y el punto que representa el número complejo. Se representa por m = |z|

Argumento: es el ángulo que forma el vector con el eje real.Se representa por α=arg(z) y se calcula:

FORMA POLAR

El complejo z = a + bi tiene un módulo m y un argumento α. Por lo que:

FORMA TRIGONOMÉTRICA:

Si nos fijamos en la representación gráfica del número complejo z = a + bi, obtenemos:

Llamamos forma trigonométrica de un número complejo z a:

z = m ( cos α + i sen α)

Llevemos toda esta teoría a la práctica: 

- Paso de forma binómica a polar o trigonométrica.

Calculamos el módulo y el argumento del número complejo.

- Paso de forma polar o trigonométrica a binómica.

Calculamos los componentes real e imaginario.

Producto y cociente en forma polar:
**La suma y diferencia de números complejos no es conveniente realizarla estando expresados en forma polar, por lo que estas operaciones las haremos en forma binómica.
PRODUCTO

No es más que otro número complejo que tiene por módulo el producto de los módulos, y por argumento la suma de los argumentos.

COCIENTE
Es otro complejo que tiene por módulo el cociente de los módulos y por argumento la diferencia de los argumentos.



Potenciación de complejos en forma polar
Es otro número complejo que tiene por módulo la potencia n-ésima del módulo, y por argumento n veces el argumento del complejo dado.



Fórmula de Moivre

Radicación de complejos en forma polar:
- Su módulo es la n raíz enésima del módulo.
- Su argumento es:

K = 0, 1, 2, ..., n - 1 Las raíces n-ésimas de un número complejo (en forma polar) son:

Ecuaciones con números complejos:
Toda ecuación algebraica de grado n, con coeficientes reales o complejos tiene n raíces o soluciones en el conjunto de los números complejos. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
El primero en demostrarlo fue Gauss.