Examen para casa. Temas 6,7 y 8 (Parte 1)

1- 

 a) ¿Las funciones reales de variable real cuyas expresiones algebraicas son x² y x³ son inyectivas?

Una función es inyectiva si no hay dos elementos que tengan imágenes iguales así que la 

función f(x) = x² no es inyectiva porque por ejemplo la imagen f(x)= 9 se puede obtener como 

f = 3/ f= -3. 

En cambio, la función f(x) = x³ sí es inyectiva ya que a cada valor de x le corresponde una 

imagen f(x) diferente.

 b) ¿La raíz cuadrada y la raíz cúbica de un número real son operaciones?

No, son números complejos. 

 c) ¿La raíz cuadrada y la raíz cúbica de un número complejo son operaciones?

Sí, porque se pueden obtener como la inversa de las respectivas funciones. f(z) = z²   / f(z) = z³

d) Calcula y dibuja el resultado.

2- 

Utiliza la fórmula de Moivre para demostrar las siguientes igualdades trigonométricas:

Y encuentra las correspondientes fórmulas para sen3x y cos3x.

3- 

Halla el módulo y el argumento del inverso de un número complejo z distinto de 0.

5- 

Sean los vectores de V₂ u (1,-1) y v (-2,0).

 a) ¿El sistema (u.v) es una base de V₂?

Sí, es una base porque son dos vectores no nulos con distinta dirección.

 b) Expresa el vector w (a.b) como combinación lineal de los vectores u y v.

c) Encuentra un vector proporcional a v cuyo modulo sea √2.

vector proporcional = (√2 , 0) o (-√2 ,0)

 d) Halla el vector proyección de u sobre v. ¿Es unitario? Halla un vector unitario con la misa

 dirección que dicho vector proyección.

6- 

a) Definición de baricentro de un triángulo: coordenadas.

b) Haz de rectas que pasan por un punto: definición y ecuación.

c) Interpretación geométrica de las transformaciones elementales sobre un sistema compatible y determinado de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

d) Demuestra que el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas secantes es el conjunto de puntos de las dos bisectrices de los “ángulos” formados por dichas rectas.

8- 

 Dadas las rectas r=y=3x+1 y s=y=-3x-1. Halla:

 a) Todas las ecuaciones de las rectas r y s.

 b) La pendiente de las rectas r y s. ¿Son perpendiculares?

No, porque sus vectores no son ortogonales. u (1.3) y v (1,-3)

 c) El ángulo formado por dichas rectas.

Dibuja las rectas r y s y todos los elementos aparecidos en los apartados anteriores.