Ecuaciones exponenciales

Ecuaciones en las cuales la incógnita es el exponente.
Podemos encontrarnos con tres casos:

• Ecuaciones en las que los dos miembros se pueden expresar con potencia con la misma base, de modo que podemos igualar los exponentes.

Ejemplo

 

Cuando tenemos sumas y restas de varias potencias

• Cuando tenemos una ecuación más compleja podemos recurrir al cambio de variable.

Ejemplo

   

Realizamos el cambio de variable:

Resolvemos la ecuación y deshacemos el cambio.

• Si no podemos expresarlo como potencias con la misma base entonces aplicamos logaritmos.

Ejemplo

Método de Gauss

Este sencillo método es utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales, consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente.
PROCEDIMIENTO

1. Transformamos el sistema en una matriz, poniendo los coeficientes (de las incógnitas) y los términos independientes separados por una recta.
2. Trazamos la diagonal principal.
3. Debemos conseguir que los número que están por debajo de la diagonal principal valgan 0. Mediante transformaciones elementales.(Si quieres recordar las transformaciones elementales Pinche aquí)
4. Llegamos a la matriz triangular (matriz cuyos elementos por debajo de su diagonal principal son cero) y transformamos dicha matriz en un sistema.
5. Resolvemos el sistema, cuya solución es casi inmediata.

Ejemplo

Sistema de ecuaciones

Antes de comenzar a resolver sistemas de ecuaciones, vamos a dejar claros los conceptos básicos.
Transformaciones elementales sobre un sistema de ecuaciones.
1) Intercambiar 2 ecuaciones. 



2) Sustituir una ecuación (o varias) por ella misma multiplicada o dividida por un número real distinto de 0.

           

3) Sustituir una ecuación por ella misma + un escalar ( un número real) por otra ecuación distinta.

4) Si una de las incógnitas "está despejada" sustituir dicha expresión despejada en el resto de incógnitas de las demás ecuaciones.

5) Eliminar una ecuación de coeficientes 0.

Ecuaciones bicuadradas

Al hablaros de este tipo de ecuaciones en anteriores entradas, vamos a explicarlas rápidamente.
Son ecuaciones de la forma: 

ax⁴ + bx² + c = 0

Para resolverlas hay que transformarlas en ecuaciones de segundo grado.

Ejemplo:

Lógicamente este método también se puede utilizar para todas las ecuaciones que guarden la misma relación entre los grados de sus términos.

Ecuaciones irracionales

Una ecuación es irracional cuando tiene la incógnita bajo el signo radical.
Resolución de ecuaciones irracionales.

• Aislamos el radical.

• Elevamos al cuadrado los dos miembros.

      

• Resolvemos la ecuación resultante.

• COMPROBAMOS

Solución de la ecuación x = 2.

Ecuaciones polinómicas

Las ecuaciones polinómicas son en su forma canónica:  P(x)=0.

SI SOBRE UNA ECUACIÓN SE APLICAN TRASFORMACIONES ELEMENTALES SE PASA A UNA ECUACIÓN EQUIVALENTE*.

Proposicion, Transformaciones elementales

1. a=b <--> a+c= b+c
2. a=b ---> a*c= b*c

*Ecuaciones equivalentes: son aquellas que tienen la misma solución.

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES POLINÓMICAS SEGÚN SU GRADO
Ecuaciones de primer grado
ax + b = 0        a ≠ 0     x= -b/a 
Donde a y b son números cualesquiera (Parámetro)
Ejemplo:
    (x + 1)² = x² - 2
    x² + 2x + 1 = x² - 2
        2x + 1 = -2
        2x + 3 = 0

Ecuaciones de segundo grado
ax² + bx + c = 0   a ≠ 0






Ejemplo:   



RELACIONES DE CARDANO

- Relación entre las raíces de un polinomio y sus coeficientes.

 Si sumamos las raíces de un polinomio el  resultado es -b/a.

Si multiplicamos las raíces de un polinomio de segundo grado su resultado es c/a.









Ejemplo:
Calcula el polinomio cuyas raíces sean 2 y 3.

• Primero las sumas, y su opuesto será S--> -5
• Su multiplicación será P--> 6
• Finalmente el polinomio que buscabas era:  x^2 - 5x + 6

Ecuaciones con grado mayor que dos
(en este grupo no contamos ni las bicuadradas, ni las que al sacar factor común sean o de grado 2 o menor, ya que son ejemplos muy concretos que sabemos resolver)

a₁xⁿ + a₂x^n-1 + a₃x^n-2 + ...+ a₀ = 0

Para resolver una ecuación de grado mayor que dos simplemente hay que factorizar como ya os he ensañado en otras entradas.
Y sus raíces serán las soluciones.

Fracciones algebraicas

- Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios:

                               
- Dos fracciones algebraicas son equivalentes si se verifica que:

                      

            P(x) · S(x) = Q(x) · R(x)

Ejemplo:
        son equivalentes porque:    (x+2) · (x− 2) = x² − 4

Simplificación de fracciones algebraicas

Simplificar una fracción algebraica es obtener un fracción más sencilla equivalente a la dada.

Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de ambos.

Ejemplo:

                     
Operaciones con fracciones algebraicas
Suma de fracciones algebraicas
 - Con el mismo denominador:

Ejemplo:

            
                     
- Con distinto denominador: en primer lugar se ponen las fracciones algebraicas a común denominador, posteriormente se suman los numeradores.
               
                    
Ejemplo:

        
   
       












Multiplicación de fracciones algebraicas

Numerador por numerador, denominador por denominador.

Potencia de fracciones algebraicas
Consiste en multiplicar la fracción dada por sí misma tantas veces como indique el exponente.







División de fracciones algebraicas
 "Multiplicacion cruzada"





Ejemplo:















PASOS A TENER EN CUENTA EN LAS OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

- La jerarquía de las operaciones

 

- En los productos y cocientes, es conveniente factorizar antes de operar.
- En las sumas y restas es conveniente efectuar las operaciones antes de simplificar.
- Durante todo el proceso S.Q.S , SIEMPRE QUE SE PUEDA SE SIMPLIFICA.