El carcelero loco

Nuestro primer problema exige un poco de imaginación, hace falta leer el enunciado varias veces y pensar la solución. En definitiva, no es un problema que a uno le tenga que salir de inmediato.
En una cárcel hay 100 celdas numeradas del 1 al 100. El carcelero primero recorre todas las celdas y las va abriendo una por una, de la 1 a la 100. Una vez hecho esto empieza de nuevo y cierra todas las pares. Luego vuelve hasta la celda 3 y sigue saltando de 3 en 3 y las que encuentra abiertas las cierra,  y las que encuentra cerradas las abre. En definitiva, cambia el estado de cada celda.
Una nueva vuelta empezando ahora por la celda número 4 y va saltando de 4 en 4 cambiando de estado las celdas. En la siguiente vuelta empieza en la 5, saltando de 5 en 5, cambiando el estado de las celdas. El carcelero continua con este proceso hasta llegar a la número 100, cuando debería empezar a dar saltos de 100 en 100.

¿Qué puertas quedarán abiertas cuando finalice el proceso? 

 Para resolver este problema tienes dos opciones: puedes volverte tan loco como el carcelero e intentar hacerlo mediante el famoso método de "la cuenta la vieja" o puedes aplicar tus conceptos matemáticos y ahorrarte bastante tiempo. Todas las puertas empiezan abiertas así que cuando pasas una vez por una puerta la cierras, dos veces la abres, tres la cierras de nuevo...  Es decir si pasas un número impar de veces la puerta quedará abierta así que la nueva pregunta que se nos plantea es:

¿Qué números tienen un número impar de divisores?

Los únicos números que tienen un número impar de divisores son los cuadrados por lo que los números que son cuadrados entre 1 y 100 son:

1,4,9,16,25,36,49,64,81 y 100